超几何分布的期望与方差公式
【超几何分布的期望与方差公式】在概率论中，超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在不放回抽样情况下，成功事件发生的次数。它常用于统计学、质量控制和抽样调查等领域。超几何分布的参数包括总体大小 $ N $、成功项数 $ K $ 以及样本容量 $ n $。本文将总结超几何分布的期望与方差公式，并以表格形式进行对比展示。
常用微分公式
【常用微分公式】在数学学习和应用过程中，微分是极为重要的工具，尤其在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。掌握一些常见的微分公式，有助于提高解题效率和理解函数变化的规律。以下是对一些常用微分公式的总结，并通过表格形式进行展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、导数的基本法则
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ [cf(x)]' = c f'(x) $ |
| 加减法法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与特殊函数
对于某些特殊函数或高阶导数，也需要掌握其微分规则：
| 函数表达式 | 一阶导数 | 二阶导数 | 说明 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | 三角函数的周期性导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | 同上 |
| $ f(x) = e^{kx} $ | $ ke^{kx} $ | $ k^2e^{kx} $ | 指数函数的高阶导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | 对数函数的导数递推 |
四、隐函数求导与参数方程求导
在处理复杂函数时，常常需要使用隐函数求导或参数方程求导的方法：
- 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} $
- 参数方程求导：若 $ x = x(t), y = y(t) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $
五、小结
掌握常用微分公式不仅是学习微积分的基础，也是解决实际问题的重要工具。通过对这些公式的理解与熟练运用，可以有效提升计算能力和逻辑思维水平。建议在学习过程中多做练习，结合具体例子加深理解，避免机械记忆，做到灵活运用。
如需进一步扩展内容，可参考相关教材或参考资料，以获得更深入的知识体系。
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