超几何分布的数学期望和方差怎么算

【超几何分布的数学期望和方差怎么算】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种描述有限总体中有放回抽样时成功事件出现次数的概率分布。它常用于不放回抽样的情况，例如从一个包含不同类别的产品中抽取样本进行质量检测等。

超几何分布的基本模型是：从一个包含 $ N $ 个元素的总体中，其中有 $ K $ 个“成功”元素，其余为“失败”元素。从中随机抽取 $ n $ 个样本，不放回，设其中“成功”元素的数量为 $ X $，则 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布。

一、超几何分布的数学期望

数学期望表示的是在多次试验中，随机变量的平均值。对于超几何分布来说，其数学期望公式为：

$$

E(X) = n \cdot \frac{K}{N}

$$

这个公式可以理解为：从总体中抽取 $ n $ 个样本，每个样本被选中的概率是 $ \frac{K}{N} $，因此期望值就是样本数量乘以单个样本的成功概率。

二、超几何分布的方差

方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度。超几何分布的方差公式为：

$$

Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}

$$

该公式包含了三个部分：

- $ n \cdot \frac{K}{N} $：期望值；

- $ \left(1 - \frac{K}{N}\right) $：失败概率；

- $ \frac{N - n}{N - 1} $：有限总体校正因子，用于调整不放回抽样带来的影响。

三、总结表格

四、应用说明

超几何分布广泛应用于统计抽样、质量控制、生物实验等领域。与二项分布不同，超几何分布适用于不放回抽样，因此其方差中需要加入校正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，以反映样本间相关性的影响。

在实际应用中，若 $ N $ 很大且 $ n $ 相对较小，超几何分布可以近似为二项分布，此时方差公式可简化为 $ np(1-p) $，其中 $ p = \frac{K}{N} $。

通过以上分析可以看出，超几何分布的数学期望和方差计算虽然略显复杂，但其公式结构清晰，便于理解和应用。掌握这些公式有助于更好地分析实际问题中的随机现象。