超几何分布的期望与方差公式

【超几何分布的期望与方差公式】在概率论中，超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在不放回抽样情况下，成功事件发生的次数。它常用于统计学、质量控制和抽样调查等领域。超几何分布的参数包括总体大小 $ N $、成功项数 $ K $ 以及样本容量 $ n $。本文将总结超几何分布的期望与方差公式，并以表格形式进行对比展示。

一、超几何分布的基本概念

超几何分布适用于以下场景：

- 总体中有 $ N $ 个元素；

- 其中 $ K $ 个是“成功”项，其余 $ N - K $ 个是“失败”项；

- 从总体中随机抽取 $ n $ 个样本（不放回）；

- 设随机变量 $ X $ 表示这 $ n $ 个样本中“成功”项的数量。

此时，$ X $ 的分布称为超几何分布，记作 $ X \sim H(N, K, n) $。

二、超几何分布的期望与方差公式

超几何分布的期望和方差是其重要的数字特征，可用于预测或分析样本中的成功次数及其波动情况。

1. 期望（Expected Value）

超几何分布的期望值表示在 $ n $ 次抽样中，平均能抽到的成功项数。其公式为：

$$

E(X) = n \cdot \frac{K}{N}

$$

该公式表明，期望值与样本容量 $ n $ 成正比，同时与总体中成功项的比例 $ \frac{K}{N} $ 相关。

2. 方差（Variance）

超几何分布的方差表示样本中成功项数的波动程度。其公式为：

$$

\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}

$$

其中，最后一项 $ \frac{N - n}{N - 1} $ 是有限总体校正因子，反映了不放回抽样的影响。与二项分布相比，超几何分布的方差更小，因为抽样时不放回会减少样本间的独立性。

三、总结与对比

以下是超几何分布的期望与方差公式的总结表格：

四、实际应用举例

例如，某工厂有 100 件产品，其中 20 件是次品。从中随机抽取 10 件，求其中次品数的期望与方差。

- $ N = 100 $, $ K = 20 $, $ n = 10 $

- 期望：$ E(X) = 10 \times \frac{20}{100} = 2 $

- 方差：$ \text{Var}(X) = 10 \times \frac{20}{100} \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) \times \frac{100 - 10}{100 - 1} \approx 1.459 $

这说明在 10 次抽样中，平均会有 2 件次品，且其方差约为 1.46，显示波动较小。

通过上述总结与表格，可以清晰地理解超几何分布的期望与方差公式及其实际意义。这些公式在实际问题中具有广泛的应用价值。