超几何分布

【超几何分布】一、概述

超几何分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，用于描述在不放回抽样过程中，成功事件发生的次数。与二项分布不同，超几何分布适用于有限总体的抽样问题，且每次抽样后样本不被放回，因此各次试验之间不是独立的。

二、基本概念

- 总体：总共有 $ N $ 个元素。

- 成功事件数：在总体中有 $ K $ 个“成功”元素。

- 样本容量：从总体中抽取 $ n $ 个样本。

- 成功样本数：在样本中出现的成功元素数量为 $ X $。

超几何分布的概率质量函数（PMF）为：

$$

P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}

$$

其中，$ k $ 是可能的成功次数，满足 $ \max(0, n - (N - K)) \leq k \leq \min(n, K) $。

三、应用领域

超几何分布在实际中有着广泛的应用，包括但不限于：

- 抽样调查

- 质量控制

- 招聘筛选

- 遗传学研究

- 网络流量分析

四、特点总结

五、示例说明

假设一个班级有 30 名学生，其中 10 人是女生。现从中随机抽取 5 人，求恰好有 2 名女生的概率。

- $ N = 30 $

- $ K = 10 $

- $ n = 5 $

- $ k = 2 $

代入公式：

$$

P(X = 2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{20}{3}}{\binom{30}{5}} = \frac{45 \times 1140}{142506} \approx 0.0357

$$

即，抽到 2 名女生的概率约为 3.57%。

六、总结

超几何分布是一种在有限总体中进行不放回抽样的重要模型，广泛应用于各种实际问题中。其核心在于利用组合数学来计算特定事件发生的概率。与二项分布相比，它更适用于实际情况中的抽样问题，尤其在样本数量较大时更为准确。理解并掌握超几何分布，有助于更好地进行统计推断和数据分析。