胡不归问题解题方法和口诀初中

【胡不归问题解题方法和口诀初中】“胡不归”问题是初中数学中较为典型的一类几何最值问题，常出现在平面几何与函数结合的题目中。它以“胡不归”这一形象化名字命名，寓意“人未归家，路途遥远”，其核心是寻找一个点，使得某段路径的总长度或时间最短。

一、什么是“胡不归”问题？

“胡不归”问题通常是指：在给定的两个定点之间，有一个动点沿某条路径移动时，求使某个特定表达式（如距离之和、时间之和等）最小的点的位置。

例如：

已知点A和点B，点P在直线l上运动，求当PA + k·PB最小时，点P的位置（k为常数）。

二、解题思路

1. 理解题意：明确已知条件、变量、目标函数。

2. 构造辅助线：利用对称、相似、反射等方法，将复杂问题简化。

3. 应用几何知识：如勾股定理、三角形不等式、直线方程等。

4. 代数计算：设未知数，建立方程，求极值。

5. 验证结果：检查是否符合题意，是否存在多个解。

三、常见解法与技巧

四、口诀记忆法（便于学生快速掌握）

口诀：

> 胡不归，走直线，

> 对称点，巧转化，

> 勾股定理来帮忙，

> 代数方程解得准，

> 最短路径记心间！

解释：

- “走直线”：最优路径是直线，不是曲线；

- “对称点”：通过反射构造对称点，使路径更直观；

- “勾股定理”：用于计算距离，特别是直角三角形中的应用；

- “代数方程”：设点坐标，列方程求极值；

- “最短路径”：最终目标是找到最短路径或最小值。

五、典型例题解析

题目：

点P在直线y = x上移动，点A(0, 2)，点B(4, 0)，求使PA + ½PB最小时，点P的坐标。

解题步骤：

1. 设点P(x, x)；

2. 计算PA = √[(x - 0)^2 + (x - 2)^2]；

3. 计算PB = √[(x - 4)^2 + (x - 0)^2]；

4. 构造函数f(x) = PA + ½PB；

5. 求导，令f'(x) = 0，解出x；

6. 验证是否为最小值。

答案：

点P的坐标为(2, 2)。

六、总结

通过系统学习“胡不归”问题的解题方法和口诀，学生可以更好地理解和掌握这类几何最值问题，提升综合运用能力。建议多做练习题，灵活运用各种方法，逐步形成自己的解题思路和技巧。