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一、总结
$ \arcsin x $ 的原函数可以通过分部积分法求得。其结果为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
下面我们将通过表格形式对这一过程进行简要总结，便于理解与记忆。
二、表格：arcsinx 的原函数推导与结果
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定积分 | $ \int \arcsin x \, dx $ |
| 2 | 分部积分法 | 令 $ u = \arcsin x $，$ dv = dx $ 则 $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $，$ v = x $ |
| 3 | 应用公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ $ = x \arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ |
| 4 | 计算剩余积分 | $ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ 令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $ $ \Rightarrow -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C $ |
| 5 | 合并结果 | 原式 = $ x \arcsin x - (-\sqrt{1 - x^2}) + C $ $ = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
三、结论
通过上述步骤，我们得出：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
该结果可以用于求解涉及 $ \arcsin x $ 的不定积分问题，是数学分析中的一个重要知识点。
如需进一步验证或应用，可结合具体数值进行计算，或使用数学软件辅助验证结果的准确性。
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