arcsinx的导数怎么推导

【arcsinx的导数怎么推导】在微积分中，求反三角函数的导数是常见的问题之一。其中，$ y = \arcsin x $ 的导数是一个经典问题，其推导过程涉及反函数的性质和基本的求导法则。下面我们将详细讲解这一推导过程，并以总结加表格的形式呈现。

一、推导过程

1. 设函数关系：

设 $ y = \arcsin x $，即 $ x = \sin y $。

2. 对两边关于x求导：

两边同时对 $ x $ 求导，得：

$$

\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y)

$$

3. 使用链式法则：

左边为1，右边为 $ \cos y \cdot \frac{dy}{dx} $，因此：

$$

1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

4. 解出 $ \frac{dy}{dx} $：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}

$$

5. 将 $ \cos y $ 用 $ x $ 表示：

根据三角恒等式 $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $，可得：

$$

\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}

$$

6. 最终结果：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

二、总结与表格

三、注意事项

- 导数定义域为 $ x \in (-1, 1) $，因为 $ \arcsin x $ 只在该区间内有定义。

- 在推导过程中，需要注意 $ \cos y $ 的正负号问题，但根据 $ y = \arcsin x $ 的定义域（$ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $），$ \cos y $ 始终为非负数，因此可以直接取平方根。

通过上述步骤，我们清晰地展示了 $ \arcsin x $ 的导数是如何推导出来的。掌握这个过程有助于理解反函数的求导方法，也为后续学习其他反三角函数的导数打下基础。