arcosx求导公式

【arcosx求导公式】在微积分中，反三角函数的求导是常见的知识点之一。其中，arccosx（即反余弦函数）的导数公式是学习过程中必须掌握的内容。以下是对 arccosx 求导公式的总结与分析。

一、arccosx 的导数公式

arccosx 的导数公式为：

$$

\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

该公式适用于定义域 $ x \in [-1, 1] $，且在该区间内可导。

二、推导思路简述

arccosx 是 cosx 在 $ [0, \pi] $ 区间上的反函数。根据反函数求导法则，若 $ y = \arccos x $，则有 $ x = \cos y $，对两边同时求导得：

$$

\frac{dx}{dy} = -\sin y

$$

因此，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = -\frac{1}{\sin y}

$$

由于 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，所以最终得到：

$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

三、关键点总结

四、应用举例

例如，求 $ f(x) = \arccos(2x) $ 的导数：

使用链式法则：

$$

f'(x) = \frac{d}{dx} \arccos(2x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}

$$

五、常见误区提示

- 不要将 arccosx 的导数与 arcsinx 的导数混淆。

- arccosx 的导数为负，而 arcsinx 的导数为正。

- 必须确保在计算过程中，根号内的表达式非负。

通过以上总结，可以清晰地理解 arccosx 的导数公式及其应用。掌握这一知识点有助于在后续的微积分问题中灵活运用。