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方差和期望的公式
【方差和期望的公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量分布特性的两个重要指标。期望反映了随机变量的“平均”或“中心”位置，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对这两个概念及其公式的总结。
一、期望（Expectation）
定义：期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率。
数学表达式：
- 离散型随机变量：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
- 连续型随机变量：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$x_i$ 是离散变量的取值，$P(x_i)$ 是其对应的概率；$f(x)$ 是连续变量的概率密度函数。
二、方差（Variance）
定义：方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，反映数据的波动性。
数学表达式：
- 离散型随机变量：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)
$$
- 连续型随机变量：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
此外，方差也可以通过期望的性质进行简化计算：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差公式汇总
| 分布类型 | 期望 $E(X)$ | 方差 $\text{Var}(X)$ |
| 伯努利分布 | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 均匀分布（a,b） | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 正态分布 | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| 指数分布 | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
四、小结
- 期望是随机变量的“平均值”，用于描述集中趋势。
- 方差是随机变量与期望之间的偏离程度，用于描述离散程度。
- 不同分布的期望和方差有固定的公式，便于实际应用中的计算和分析。
- 理解这些公式有助于更深入地掌握概率统计的基本思想，并在实际问题中进行合理的建模与分析。
如需进一步了解具体分布的推导过程或应用场景，可继续查阅相关资料或进行实验验证。
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