二项分布公式

【二项分布公式】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复试验 中，某事件恰好发生 k 次 的概率。它广泛应用于各种实际问题中，如抛硬币、产品质量检验、医学试验等。

一、二项分布的定义

二项分布是基于 伯努利试验 的扩展。每次试验只有两种可能结果：成功或失败。设：

- n：试验的总次数

- p：每次试验成功的概率

- q = 1 - p：每次试验失败的概率

- k：成功发生的次数

则随机变量 X（表示成功次数）服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作：

$$

X \sim B(n, p)

$$

二、二项分布的概率质量函数

二项分布的概率质量函数（PMF）为：

$$

P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

$$

其中：

- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从 n 次试验中选出 k 次成功的组合方式数目，计算公式为：

$$

C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

$$

三、二项分布的期望与方差

四、二项分布的应用场景

五、二项分布与正态分布的关系

当 n 较大，且 p 不接近 0 或 1 时，二项分布可以近似为 正态分布，其参数为：

$$

\mu = np, \quad \sigma^2 = np(1-p)

$$

这种近似在实际应用中非常常见，尤其在进行统计推断时。

六、二项分布与泊松分布的区别

七、总结表格

通过以上内容，我们可以清晰地理解二项分布的基本概念、数学表达以及实际应用。它是统计学中一个基础而重要的工具，适用于许多现实世界中的概率问题。