二阶矩阵伴随矩阵公式怎么得来的

【二阶矩阵伴随矩阵公式怎么得来的】在学习线性代数的过程中，伴随矩阵是一个重要的概念，尤其是在求逆矩阵和行列式时经常用到。对于二阶矩阵来说，其伴随矩阵的公式相对简单，但很多人对其来源却不太清楚。本文将从基本定义出发，逐步推导出二阶矩阵伴随矩阵的公式，并以总结加表格的形式呈现。

一、什么是伴随矩阵？

伴随矩阵（Adjoint Matrix）是指一个矩阵中每个元素的代数余子式的转置矩阵。记作 $ \text{adj}(A) $，它与原矩阵 $ A $ 的关系为：

$$

A \cdot \text{adj}(A) = \text{det}(A) \cdot I

$$

其中，$ \text{det}(A) $ 是矩阵 $ A $ 的行列式，$ I $ 是单位矩阵。

二、二阶矩阵的伴随矩阵公式推导

设一个二阶矩阵为：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b \\

c & d

\end{bmatrix}

$$

我们先计算其代数余子式。

1. 第一行第一列的代数余子式（即 $ C_{11} $）

去掉第1行第1列后，剩下的是 $ d $，所以：

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot d = d

$$

2. 第一行第二列的代数余子式（即 $ C_{12} $）

去掉第1行第2列后，剩下的是 $ c $，所以：

$$

C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot c = -c

$$

3. 第二行第一列的代数余子式（即 $ C_{21} $）

去掉第2行第1列后，剩下的是 $ b $，所以：

$$

C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot b = -b

$$

4. 第二行第二列的代数余子式（即 $ C_{22} $）

去掉第2行第2列后，剩下的是 $ a $，所以：

$$

C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot a = a

$$

因此，代数余子式矩阵为：

$$

\begin{bmatrix}

d & -c \\

-b & a

\end{bmatrix}

$$

将该矩阵转置后得到伴随矩阵：

$$

\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}

d & -b \\

-c & a

\end{bmatrix}

$$

三、总结

通过上述推导可以看出，二阶矩阵的伴随矩阵是通过对原矩阵的每个元素求代数余子式，再进行转置得到的。其公式可以简化为：

$$

\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}

d & -b \\

-c & a

\end{bmatrix}

$$

这与原矩阵的行列式 $ \text{det}(A) = ad - bc $ 有直接关系，用于后续求逆矩阵等操作。

四、公式对比表

五、结语

二阶矩阵的伴随矩阵公式虽然简单，但其背后是代数余子式和转置操作的综合应用。理解其来源有助于更深入地掌握矩阵运算的本质，也为后续学习更高阶矩阵的伴随矩阵打下基础。