二阶复合函数求导公式

【二阶复合函数求导公式】在微积分中，复合函数的求导是常见的运算之一。当函数由多个层次组成时，例如一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要使用链式法则进行求导。而当涉及到二阶导数时，情况会更加复杂。本文将对二阶复合函数的求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其推导过程与应用方法。

一、基本概念

设函数 $ y = f(g(x)) $ 是一个复合函数，其中 $ f $ 和 $ g $ 均为可导函数。

我们首先回顾一阶导数的求导规则，再进一步推导二阶导数的表达式。

二、一阶导数（链式法则）

根据链式法则，复合函数的一阶导数为：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}

$$

三、二阶导数的推导

为了求二阶导数，我们需要对一阶导数再次求导。即：

$$

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} \right)

$$

使用乘积法则展开：

$$

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{df}{dg} \right) \cdot \frac{dg}{dx} + \frac{df}{dg} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{dg}{dx} \right)

$$

接下来分别计算两项：

1. 第一项：

$$

\frac{d}{dx} \left( \frac{df}{dg} \right) = \frac{d^2f}{dg^2} \cdot \frac{dg}{dx}

$$

2. 第二项：

$$

\frac{d}{dx} \left( \frac{dg}{dx} \right) = \frac{d^2g}{dx^2}

$$

因此，二阶导数为：

$$

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2f}{dg^2} \cdot \left( \frac{dg}{dx} \right)^2 + \frac{df}{dg} \cdot \frac{d^2g}{dx^2}

$$

四、二阶复合函数求导公式总结

五、示例说明

假设 $ y = \sin(e^{x}) $，则：

- $ f(u) = \sin u $，$ g(x) = e^x $

- 一阶导数：$ y' = \cos(e^x) \cdot e^x $

- 二阶导数：

$$

y'' = -\sin(e^x) \cdot (e^x)^2 + \cos(e^x) \cdot e^x

$$

六、总结

二阶复合函数的求导需要结合链式法则和乘积法则，最终得到的公式包含两个部分：一个是外层函数的二阶导数与内层函数一阶导数的平方相乘，另一个是外层函数的一阶导数与内层函数的二阶导数相乘。掌握这一公式有助于更高效地处理复杂的复合函数问题。

附表：二阶复合函数求导公式一览

如需进一步扩展至三阶或更高阶的复合函数求导，可以采用类似的递推方式，逐步引入更高阶的导数项。