二次函数求最值公式

【二次函数求最值公式】在数学学习中，二次函数是一个重要的内容，尤其在求最大值或最小值方面有着广泛的应用。二次函数的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 0 $），其图像是一条抛物线。根据开口方向的不同，抛物线会有最高点或最低点，即函数的最值。

为了更高效地找到二次函数的最值，我们可以使用一个简洁的公式进行计算，而不必每次都通过配方法或求导来完成。

一、最值公式的推导

对于一般的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其顶点横坐标为：

$$

x = -\frac{b}{2a}

$$

将该值代入原函数中，即可得到对应的纵坐标，即为函数的最值。

因此，二次函数的最值公式为：

$$

y_{\text{max or min}} = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c

$$

化简后可得：

$$

y_{\text{max or min}} = \frac{4ac - b^2}{4a}

$$

二、最值判断依据

- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；

- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，此时函数有最大值。

三、总结与对比表格

四、实际应用举例

例如，已知二次函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $，求其最值。

- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $

- 顶点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $

- 最值：$ y = \frac{4 \times 2 \times 1 - (-4)^2}{4 \times 2} = \frac{8 - 16}{8} = -1 $

因为 $ a > 0 $，所以这是一个最小值，最小值为 $ -1 $。

五、结语

掌握二次函数的最值公式，不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更好地理解函数的图像特征和实际应用。通过合理运用这些公式，可以快速解决相关问题，避免重复复杂的计算过程。