二次函数的求根公式怎么来的

【二次函数的求根公式怎么来的】在数学中，二次函数是形如 $ y = ax^2 + bx + c $ 的函数，其中 $ a \neq 0 $。它的图像是一条抛物线，而求根公式是用来求解这个二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的数学工具。那么，这个公式是怎么来的呢？下面我们将通过推导过程和关键步骤来解释。

一、求根公式的来源

求根公式的核心思想是将一个一般形式的二次方程通过代数变换转化为平方形式，从而求出未知数的值。这个过程称为“配方法”，它是推导求根公式的关键。

1. 从标准形式出发

我们从一般的二次方程开始：

$$

ax^2 + bx + c = 0

$$

首先，将方程两边同时除以 $ a $（因为 $ a \neq 0 $）：

$$

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

$$

接着，把常数项移到等号右边：

$$

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

$$

2. 配方

为了使左边成为一个完全平方，我们需要加上一个适当的数。这个数是 $ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 $，即 $ \frac{b^2}{4a^2} $。

所以，我们在两边同时加上这个数：

$$

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

$$

左边变成一个完全平方：

$$

\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

$$

3. 开平方

对两边开平方：

$$

x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

$$

化简右边的根号：

$$

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

最后，解出 $ x $：

$$

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

整理后得到求根公式：

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

二、总结与关键点

三、结论

二次函数的求根公式是通过配方法逐步推导出来的。它揭示了二次方程的根与系数之间的关系，并且能够帮助我们快速找到方程的解。掌握这一推导过程不仅有助于理解公式的含义，还能增强我们对代数运算的理解和应用能力。