多元函数极值fxy怎么求

【多元函数极值fxy怎么求】在数学中，尤其是微积分领域，研究多元函数的极值问题是十分常见的。对于二元函数 $ f(x, y) $ 来说，求其极值通常需要通过求导、判断临界点以及利用二阶导数判别法来完成。以下是对“多元函数极值 $ f_{xy} $ 怎么求”的总结与分析。

一、多元函数极值的基本概念

多元函数 $ f(x, y) $ 的极值是指在某个定义域内，函数取得最大值或最小值的点。极值可以是局部极值（即在某一点附近取得最大或最小值）或全局极值（在整个定义域内取得最大或最小值）。

二、求解步骤

1. 求偏导数

首先，计算函数的一阶偏导数：

- $ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} $

- $ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} $

找到使得这两个偏导数都为零的点，即临界点。

2. 解方程组

解以下方程组：

$$

\begin{cases}

f_x = 0 \\

f_y = 0

\end{cases}

$$

得到所有可能的极值点。

3. 判断极值类型（使用二阶导数）

对于每一个临界点 $ (x_0, y_0) $，计算二阶偏导数：

- $ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $

- $ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $

- $ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $

然后构造判别式：

$$

D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2

$$

根据 $ D $ 和 $ f_{xx} $ 的符号进行判断：

三、示例说明

假设函数为：

$ f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y $

1. 求偏导数：

- $ f_x = 2x - 4 $

- $ f_y = 2y - 6 $

2. 解方程组：

- $ 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 $

- $ 2y - 6 = 0 \Rightarrow y = 3 $

所以临界点为 $ (2, 3) $

3. 计算二阶导数：

- $ f_{xx} = 2 $

- $ f_{yy} = 2 $

- $ f_{xy} = 0 $

4. 判别式：

- $ D = 2 \times 2 - 0^2 = 4 > 0 $

- $ f_{xx} > 0 $

所以该点为局部极小值点。

四、总结表

五、注意事项

- 二阶导数判别法仅适用于可微函数。

- 若判别式 $ D = 0 $，则需进一步分析。

- 极值点可能出现在边界上，需额外检查边界情况。

通过以上步骤和方法，可以系统地求解多元函数的极值问题，特别是在实际应用中，如优化问题、经济学模型等，具有重要的理论和实践意义。