多项式除以多项式怎么算

【多项式除以多项式怎么算】在代数学习中，多项式除以多项式是一个重要的运算内容。它不仅在数学考试中频繁出现，也在实际应用中有着广泛的用途。掌握这一技能，有助于提升对多项式结构的理解和运算能力。

一、基本概念

多项式是由多个单项式组成的表达式，例如：

- $ A(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 $

- $ B(x) = x - 1 $

当我们将一个多项式 $ A(x) $ 除以另一个多项式 $ B(x) $ 时，其结果通常为一个商多项式 $ Q(x) $ 和一个余式 $ R(x) $，满足以下关系：

$$

A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)

$$

其中，余式 $ R(x) $ 的次数必须小于除式 $ B(x) $ 的次数。

二、计算步骤总结

以下是多项式除以多项式的基本操作流程：

三、示例演示

题目： 计算 $ (x^3 + 2x^2 - 5x + 3) \div (x - 1) $

步骤如下：

1. 排列多项式：

被除式：$ x^3 + 2x^2 - 5x + 3 $

除式：$ x - 1 $

2. 第一步：

首项相除：$ \frac{x^3}{x} = x^2 $

乘以除式：$ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 $

减去后：

$$

(x^3 + 2x^2 - 5x + 3) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - 5x + 3

$$

3. 第二步：

首项相除：$ \frac{3x^2}{x} = 3x $

乘以除式：$ 3x \cdot (x - 1) = 3x^2 - 3x $

减去后：

$$

(3x^2 - 5x + 3) - (3x^2 - 3x) = -2x + 3

$$

4. 第三步：

首项相除：$ \frac{-2x}{x} = -2 $

乘以除式：$ -2 \cdot (x - 1) = -2x + 2 $

减去后：

$$

(-2x + 3) - (-2x + 2) = 1

$$

最终结果：

商为 $ x^2 + 3x - 2 $，余式为 $ 1 $

四、表格总结

五、注意事项

- 在进行多项式除法前，务必确认多项式是按降幂排列的。

- 若某一项在原多项式中缺失，需补0以保持格式统一。

- 多项式除法与整数除法类似，但更注重项的对应和符号处理。

通过以上方法和步骤，可以系统地解决多项式除以多项式的计算问题，提高运算的准确性和效率。