对勾函数的最值怎么求的啊

【对勾函数的最值怎么求的啊】对勾函数，又称“双钩函数”，是一种形如 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 的函数（其中 $ a > 0, b > 0 $），其图像在第一、第三象限呈现“对勾”形状。由于该函数具有对称性和极值点，因此在实际问题中常用于优化问题，例如最小成本、最大效率等。本文将总结如何求解对勾函数的最值，并通过表格形式直观展示关键信息。

一、对勾函数的基本性质

二、求最值的方法

方法一：导数法

1. 求导

对函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 求导：

$$

f'(x) = a - \frac{b}{x^2}

$$

2. 令导数为零，求临界点

$$

a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}

$$

3. 判断极值类型

- 当 $ x > 0 $ 时，$ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 是极小值点；

- 当 $ x < 0 $ 时，$ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 是极大值点。

4. 代入求最值

- 最小值：$ f\left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = a \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab} $

- 最大值：$ f\left( -\sqrt{\frac{b}{a}} \right) = -2\sqrt{ab} $

方法二：不等式法（均值不等式）

对于 $ x > 0 $，根据均值不等式：

$$

ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ax \cdot \frac{b}{x}} = 2\sqrt{ab}

$$

当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $ 即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取等号，此时取得最小值。

三、不同定义域下的最值情况

四、总结

对勾函数的最值可以通过导数法或不等式法进行求解。在正区间上，它有最小值；在负区间上，它有最大值。若考虑整个定义域，则同时存在最大值和最小值，分别位于正负对称点处。

通过对勾函数的最值分析，我们不仅能够解决数学问题，还能将其应用到实际生活中的优化场景中，如资源分配、成本控制等。掌握这一方法，有助于提升解决问题的能力。