定比分点公式

【定比分点公式】在解析几何中，定比分点公式是一个重要的知识点，广泛应用于坐标系中两点之间的分点问题。该公式可以用来求出一条线段被某一点按一定比例分成两部分时，该点的坐标。下面将对定比分点公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其内容和应用。

一、定比分点公式的定义

定比分点是指在线段AB上，存在一点P，使得该点将线段AB分为两个部分，且这两部分的长度之比为一个定值λ（λ ≠ -1）。根据这个比例，可以求出点P的坐标。

设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，点P(x, y)是线段AB上的一个点，满足AP:PB = λ:1（或写成AP/PB = λ），则点P的坐标可以通过定比分点公式计算得出。

二、定比分点公式的推导与表达式

根据向量法或代数法，可得点P的坐标公式如下：

- 横坐标：

$$

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}

$$

- 纵坐标：

$$

y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}

$$

其中，λ表示AP与PB的比值，即AP:PB = λ:1。

三、定比分点公式的应用条件

四、定比分点公式的使用步骤

五、示例应用

假设A(1, 2)，B(5, 6)，且AP:PB = 2:1，求点P的坐标。

- 代入公式：

$$

x = \frac{1 + 2 \times 5}{1 + 2} = \frac{1 + 10}{3} = \frac{11}{3}

$$

$$

y = \frac{2 + 2 \times 6}{1 + 2} = \frac{2 + 12}{3} = \frac{14}{3}

$$

所以，点P的坐标为 $(\frac{11}{3}, \frac{14}{3})$。

六、总结对比表

通过以上内容可以看出，定比分点公式是解决几何中分点问题的重要工具，掌握其原理和应用方法有助于提升数学分析能力。