等比中项的通项公式

【等比中项的通项公式】在数列的学习中，等比数列是一个重要的知识点。而“等比中项”则是等比数列中一个关键的概念，它不仅与数列的性质密切相关，还常常用于解决实际问题。本文将对等比中项的基本概念、通项公式及其应用进行总结，并通过表格形式清晰展示相关内容。

一、基本概念

等比数列：如果一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数（称为公比），则这个数列称为等比数列。

等比中项：在三个数 a、b、c 成等比数列时，b 称为 a 和 c 的等比中项，即满足 $ b^2 = ac $。

二、等比中项的通项公式

对于一个等比数列 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，其通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

其中：

- $ a_1 $ 是首项，

- $ r $ 是公比，

- $ n $ 是项数。

若已知某三项 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b $ 是 $ a $ 和 $ c $ 的等比中项，满足：

$$

b = \sqrt{ac}

$$

注意：若 $ a $ 与 $ c $ 异号，则 $ b $ 不存在实数解；若 $ a = 0 $ 或 $ c = 0 $，则 $ b $ 也为 0。

三、常见应用场景

四、典型例题解析

例题1：已知等比数列的首项为 2，公比为 3，求第 5 项。

解：

根据通项公式 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $

$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

例题2：若 4 和 16 是两个数，求它们的等比中项。

解：

根据等比中项公式 $ b = \sqrt{ac} $

$ b = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 $

五、总结表格

通过以上内容的梳理，我们可以更清晰地理解等比中项与通项公式之间的关系，并将其灵活应用于各类数学问题中。掌握这些基础知识，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。