等比中项的公式

【等比中项的公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。在等比数列中，若已知两个数，那么它们之间的“等比中项”就是满足一定条件的中间数。下面将对等比中项的公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、等比中项的定义

设三个数 $ a $、$ b $、$ c $ 构成一个等比数列，则 $ b $ 称为 $ a $ 和 $ c $ 的等比中项。根据等比数列的性质，有：

$$

\frac{b}{a} = \frac{c}{b}

$$

即：

$$

b^2 = a \cdot c

$$

由此可得：

$$

b = \sqrt{a \cdot c}

$$

因此，等比中项 $ b $ 是两个数 $ a $ 和 $ c $ 的几何平均数。

二、等比中项的公式总结

三、实例分析

1. 已知 $ a = 4 $，$ c = 9 $，求等比中项 $ b $

解：$ b = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 $

2. 已知 $ a = -2 $，$ c = -8 $，求等比中项 $ b $

解：$ b = \sqrt{(-2) \times (-8)} = \sqrt{16} = 4 $

3. 已知 $ a = 5 $，$ c = 20 $，求等比中项 $ b $

解：$ b = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = 10 $

四、注意事项

- 等比中项只适用于正数或同号的负数；

- 若 $ a $ 或 $ c $ 为零，则无法求出有效的等比中项；

- 在实际应用中，需注意数列的顺序和公比的正负。

通过以上内容可以看出，等比中项的公式是基于等比数列的基本性质推导而来的，具有明确的数学依据和广泛的应用价值。掌握这一公式有助于更深入地理解数列的结构和变化规律。