等比数列的概念及其通项公式

【等比数列的概念及其通项公式】等比数列是数列中的一种重要类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。理解等比数列的基本概念和通项公式，对于掌握数列知识具有重要意义。

一、等比数列的概念

等比数列是指从第二项起，每一项与它前面一项的比值都相等的数列。这个比值称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。如果数列的第一项为 $ a_1 $，则等比数列可以表示为：

$$

a_1, a_1q, a_1q^2, a_1q^3, \ldots, a_1q^{n-1}, \ldots

$$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比，且 $ q \neq 0 $。

二、等比数列的通项公式

等比数列的第 $ n $ 项（即通项）可以用以下公式表示：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

其中：

- $ a_n $：第 $ n $ 项

- $ a_1 $：首项

- $ q $：公比

- $ n $：项数

该公式表明，等比数列中的任意一项都可以由首项和公比通过幂运算得到。

三、等比数列的性质

1. 公比不为零：若 $ q = 0 $，则从第二项开始全为零，不符合等比数列的定义。

2. 正负号变化：当 $ q < 0 $ 时，数列会出现正负交替的情况。

3. 增长或衰减：当 $ q > 1 $ 时，数列呈指数增长；当 $ q < 1 $ 时，数列呈指数衰减。

4. 连续性：等比数列中的任意两项之间，可以通过乘以若干次公比得到。

四、典型例题解析

五、总结

通过理解等比数列的基本概念和通项公式，可以更高效地解决相关问题，并在实际应用中发挥重要作用。