导数的除法公式

【导数的除法公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。除了常见的乘法法则和链式法则外，导数的除法法则（也称为商法则）同样具有重要的应用价值。该法则用于求解两个可导函数相除后的导数，广泛应用于物理、工程和经济学等领域。

一、导数的除法公式概述

当有两个可导函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，且 $ g(x) \neq 0 $ 时，它们的商 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 的导数可以用以下公式计算：

$$

\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

$$

该公式可以简记为：分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母平方。

二、公式推导思路（简要）

设 $ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $，则：

$$

h(x) = f(x) \cdot [g(x)]^{-1}

$$

利用乘法法则与链式法则，可得：

$$

h'(x) = f'(x) \cdot [g(x)]^{-1} + f(x) \cdot (-1)[g(x)]^{-2} \cdot g'(x)

$$

整理后得到：

$$

h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

$$

三、使用步骤总结

四、典型例题解析

例题： 求函数 $ y = \frac{x^2}{x+1} $ 的导数。

解：

- $ f(x) = x^2 $，则 $ f'(x) = 2x $

- $ g(x) = x + 1 $，则 $ g'(x) = 1 $

代入商法则：

$$

y' = \frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

$$

五、常见错误提示

六、表格总结

通过掌握导数的除法公式，可以更高效地处理复杂的函数求导问题，提升数学分析能力。建议多做练习题，加深对公式的理解与运用。