单纯形法计算步骤详解

【单纯形法计算步骤详解】单纯形法是线性规划问题中最常用的一种求解方法，尤其适用于具有多个变量和约束条件的线性规划问题。它通过迭代的方式逐步逼近最优解，其核心思想是通过基变量的变换来寻找目标函数的极值。

以下是对单纯形法计算步骤的详细总结，结合表格形式进行说明，便于理解和应用。

一、单纯形法基本概念

二、单纯形法计算步骤（以标准型为例）

1. 将线性规划问题转化为标准形式

- 目标函数：最大化 $ Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n $

- 约束条件：$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 $

$ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 $

...

- 所有变量 $ x_i \geq 0 $

> 注：若存在不等式为“≥”或“=”，需引入人工变量或使用大M法。

2. 引入松弛变量和人工变量

- 对于每个小于等于的不等式，添加一个松弛变量（Slack Variable）使其变为等式。

- 若存在“=”，则需引入人工变量（Artificial Variable）。

3. 构造初始单纯形表

> 注：RHS 表示右边常数项；检验数表示该变量对目标函数的影响。

4. 判断是否达到最优解

- 若所有非基变量的检验数都小于等于0（对于最大化问题），则当前解为最优解。

- 若存在正的检验数，则说明可以继续优化。

5. 选择进基变量（Entering Variable）

- 选择检验数最大的非基变量作为进基变量。

6. 选择出基变量（Leaving Variable）

- 计算各基变量与进基变量所在行的比值（RHS / 进基变量系数），取最小正值对应的基变量作为出基变量。

7. 进行行变换，更新单纯形表

- 使用初等行变换将进基变量变为单位向量，其他行相应调整。

8. 重复步骤4至7，直到满足最优条件

三、单纯形法计算步骤总结表

四、注意事项

- 单纯形法仅适用于线性规划问题；

- 若出现无界解或退化解，需采取特殊处理；

- 可通过计算机程序（如Excel、MATLAB、Lingo等）实现自动化计算。

五、结语

单纯形法是一种系统而高效的线性规划求解方法，其核心在于通过不断迭代优化基变量组合，最终找到使目标函数达到极值的解。掌握其计算步骤，有助于深入理解线性规划的本质，并在实际问题中灵活应用。