串联并联推导公式

【串联并联推导公式】在电路分析中，电阻的串联与并联是基础且重要的概念。理解这两种连接方式下的等效电阻计算方法，有助于更好地分析复杂电路结构。以下是对串联与并联电路中电阻、电压、电流关系的推导与总结。

一、串联电路

定义： 电阻依次首尾相连，形成单一通路的电路称为串联电路。

特点：

- 电流处处相等。

- 总电压等于各电阻两端电压之和。

- 等效电阻为各电阻之和。

推导过程：

设三个电阻 $ R_1, R_2, R_3 $ 串联，总电压为 $ U $，电流为 $ I $。

根据欧姆定律：

$$

U = U_1 + U_2 + U_3

$$

$$

U_1 = I R_1,\quad U_2 = I R_2,\quad U_3 = I R_3

$$

代入得：

$$

U = I(R_1 + R_2 + R_3)

$$

因此，等效电阻为：

$$

R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + R_3

$$

二、并联电路

定义： 电阻两端分别连接到同一对节点上，形成多条支路的电路称为并联电路。

特点：

- 电压在各支路中相等。

- 总电流等于各支路电流之和。

- 等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和。

推导过程：

设三个电阻 $ R_1, R_2, R_3 $ 并联，总电压为 $ U $，总电流为 $ I $。

根据欧姆定律：

$$

I = I_1 + I_2 + I_3

$$

$$

I_1 = \frac{U}{R_1},\quad I_2 = \frac{U}{R_2},\quad I_3 = \frac{U}{R_3}

$$

代入得：

$$

I = U\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)

$$

因此，等效电阻为：

$$

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}

$$

三、总结对比表

通过上述推导与对比，可以清晰地理解电阻在串联与并联电路中的不同表现形式及其计算方法。掌握这些基本原理，有助于进一步学习更复杂的电路分析与设计。