泊松分布公式

【泊松分布公式】泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内，某事件发生次数的概率。它适用于独立事件发生的次数，且事件发生的平均频率较低的情况。例如：某地区一年内发生交通事故的次数、电话呼叫中心在某一小时内接收到的电话数量等。

一、泊松分布的基本概念

泊松分布由法国数学家西蒙·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）提出，其核心思想是：当试验次数 $ n $ 很大，而每次试验中事件发生的概率 $ p $ 很小，使得 $ \lambda = np $ 保持不变时，二项分布可以用泊松分布来近似。

二、泊松分布公式

泊松分布的概率质量函数为：

$$

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}

$$

其中：

- $ P(X = k) $：表示在给定时间内事件恰好发生 $ k $ 次的概率；

- $ \lambda $：单位时间或空间内事件的平均发生次数（期望值）；

- $ e $：自然对数的底，约等于 2.71828；

- $ k! $：$ k $ 的阶乘；

- $ k = 0, 1, 2, ... $

三、泊松分布的性质

四、泊松分布的应用场景

五、泊松分布与二项分布的关系

当 $ n $ 很大，$ p $ 很小，且 $ \lambda = np $ 时，二项分布 $ B(n, p) $ 可以用泊松分布 $ \text{Poisson}(\lambda) $ 进行近似。

六、表格总结：泊松分布关键信息

通过理解泊松分布的公式和特性，可以更好地在实际问题中应用这一概率模型，从而进行合理的预测和决策。