xsinxcosx的定积分是多少

【xsinxcosx的定积分是多少】在数学学习中，不定积分与定积分是微积分的核心内容之一。对于函数 $ f(x) = x \sin x \cos x $，求其定积分是一个常见的问题，尤其是在处理三角函数与多项式相乘的情况时。本文将对该函数的定积分进行总结，并通过表格形式展示关键计算步骤与结果。

一、函数分析

函数 $ f(x) = x \sin x \cos x $ 是一个由三角函数和一次项组合而成的函数。为了简化计算，可以利用三角恒等式将其转换为更易积分的形式：

$$

\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)

$$

因此，

$$

f(x) = x \cdot \sin x \cos x = \frac{1}{2} x \sin(2x)

$$

这样，原函数被简化为 $ \frac{1}{2} x \sin(2x) $，便于后续积分计算。

二、定积分计算方法

由于题目未指定积分区间，我们以一般情况下的定积分为例，即从 $ a $ 到 $ b $ 的定积分：

$$

\int_a^b x \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \int_a^b x \sin(2x) \, dx

$$

该积分可以通过分部积分法进行计算。设：

- $ u = x $，则 $ du = dx $

- $ dv = \sin(2x) dx $，则 $ v = -\frac{1}{2} \cos(2x) $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx \right

$$

继续积分：

$$

= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \right] + C

$$

因此，原函数的不定积分为：

$$

\int x \sin x \cos x \, dx = -\frac{1}{4} x \cos(2x) + \frac{1}{8} \sin(2x) + C

$$

三、定积分结果（以区间 [0, π/2] 为例）

我们可以对上述不定积分在特定区间上求值，例如从 $ 0 $ 到 $ \frac{\pi}{2} $ 的定积分：

$$

\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \cos x \, dx = \left[ -\frac{1}{4} x \cos(2x) + \frac{1}{8} \sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}

$$

分别代入上下限：

- 当 $ x = \frac{\pi}{2} $：

- $ \cos(2x) = \cos(\pi) = -1 $

- $ \sin(2x) = \sin(\pi) = 0 $

- 当 $ x = 0 $：

- $ \cos(0) = 1 $

- $ \sin(0) = 0 $

代入后计算：

$$

= \left( -\frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{8} \cdot 0 \right) - \left( -\frac{1}{4} \cdot 0 \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 0 \right)

= \frac{\pi}{8}

$$

四、总结与表格

五、结论

通过对 $ x \sin x \cos x $ 进行三角恒等变换与分部积分，我们得到了其定积分的表达式与具体数值。在实际应用中，可以根据需要选择不同的积分区间，灵活使用上述方法进行计算。

如需进一步探讨其他区间的定积分或不同形式的积分，可结合具体需求进行拓展分析。