sinx平方的导数是什么

【sinx平方的导数是什么】在微积分中，求函数的导数是基本且重要的操作之一。对于函数 $ y = \sin^2 x $，其导数的计算需要应用链式法则和基本的三角函数求导规则。本文将对 $ \sin^2 x $ 的导数进行详细分析，并通过总结与表格形式展示结果。

一、导数计算过程

函数 $ y = \sin^2 x $ 可以看作是两个函数的复合：外层函数为 $ u^2 $，内层函数为 $ u = \sin x $。根据链式法则，导数的计算步骤如下：

1. 设 $ u = \sin x $，则 $ y = u^2 $。

2. 对 $ y $ 关于 $ u $ 求导：$ \frac{dy}{du} = 2u $。

3. 对 $ u $ 关于 $ x $ 求导：$ \frac{du}{dx} = \cos x $。

4. 根据链式法则：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \cos x

$$

5. 将 $ u = \sin x $ 代入，得到最终结果：

$$

\frac{dy}{dx} = 2\sin x \cdot \cos x

$$

二、简化表达式（可选）

注意到 $ 2\sin x \cos x $ 是一个常见的三角恒等式，可以进一步简化为：

$$

\frac{dy}{dx} = \sin(2x)

$$

因此，$ \sin^2 x $ 的导数也可以表示为 $ \sin(2x) $。

三、总结与表格展示

四、注意事项

- 在实际计算中，直接使用链式法则是最直观的方式。

- 若题目要求用最简形式表达，可选择 $ \sin(2x) $。

- 注意区分 $ \sin(x^2) $ 和 $ (\sin x)^2 $，它们的导数完全不同。

五、结语

对 $ \sin^2 x $ 求导的过程体现了链式法则的应用，同时也展示了三角函数的恒等变换技巧。掌握这类基础导数的计算方法，有助于更深入地理解微积分中的复合函数求导问题。